KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ

  KARMAŞIK(KOMPLEKS) SAYILAR

 

 

 ax² + bx + c = 0 denkleminin  Δ < 0 iken  reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin,  x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0  Þ    x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.

 Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...

 

A.   TANIM:

  a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen  z sayına  Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.

 C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve  Ö-1 = i } dir.

( i = Ö-1  Þ i² = -1 dir.)

  z = a + bi karmaşık sayısında  a  ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı,  b  ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

 

Örnek:

 Z1 = 3 + 4i,  Z2 = 2 – 3i,  Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.

Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.

Z2 = 2 - 3i  Þ Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,

Z3 =  Ö3 + i  Þ Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1,

Z4 =  7 Þ Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,

Z5 = 10i  Þ Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.

 

Örnek:

            x² - 2x + 5 = 0     denkleminin çözüm kümesini bulalım.

 

Çözüm:

 

 Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.

 Δ = b² - 4ac = ( -2) ² -  4.1.5 = -16 = 16.i²

  X1,2 = -b ± ÖΔ   =  -(-2) ± Ö16i² =  2 ± 4i  = 1 ± 2i  dir.

              2a                   2.1              2

Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.

 

 

 

 

 

 

 

B.    İ ‘NİN KUVVETLERİ

 

 iº = 1,  i¹ = i,  i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...

 Görüldüğü gibi  i  nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.

 

Buna göre , n Î N olmak üzere,

 

     i4n = 1

     i4n + 1 =  i

     i4n + 2  = -1

     i4n + 3 =  -i   dir.

 

Örnek:

 

  ( i14  +  i15 + 1 ).( i99 +  i100 – 1)  işleminin sonucunu bulalım.

 

Çözüm:

 i14  =  (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1

 i15  =  (i4)3.i3  = 13.(-i)  = -i

 i99  =  (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i

 i100 = (i4)25 = 125 = 1  olduğu için,

 

 (i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i  + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1  dir.

 

C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

 

 Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.

 

Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2  ↔ (a = c ve b = d) dir.

Z2 = c + di }

 

 

 

 

 

 

 

 

 Örnek:

          Z1 = a + 3 + 2bi + 3i

               Z 2 = 8 + (a + b)i

                  Z1 = Z2                 olduğuna göre, b değerini bulalım.

 

Çözüm:

  Z1= (a + 3) + (2b + 3)i,  Z2 = 8 + (a + b)i  ve  Z1 = Z2  olduğundan,

   a + 3 = 8 Þ  a = 5

   2b + 3 = a + b Þ  2b + 3 = 5 + b Þ b = 2  dir.

 

Örnek:

   Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i

   Z2 = 0

   Z1 = Z2     olduğuna göre, a.b değerini bulalım.

 

 

Çözüm:

 Z1 = Z2  olduğundan,

 a – 2 = 0 Þ a =2,

 a + b + 3 = 0 Þ 2 + b + 3 = 0 Þ b = -5 tir.

O halde,  a.b = 2.(-5) = -10 dur.

 

D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

 

 

                                                   _

  Z = a + bi karmaşık sayı ise   Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.

 

Örnek:

                                                     _

1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği   Z1 = 4 - 3i,

                                                          _

2) Z2  = Ö2 - Ö3i  sayısının eşleniği   Z2  = Ö2 + Ö3i,

                                                   _

3) Z3 = -7i   sayısının eşleniği   Z3 = 7i,  

                                                 _

4) Z4 = 12  sayısının eşleniği  Z4 = 12,

                                                                                    _

5) Z5 = Ö3 - Ö2  sayısının eşleniği  Z5 = Ö3 - Ö2   dir.

 

 Örnek: 

Z = a + bi olmak üzere,

                         _         

                    3 . Z – 1 = 2(4 – i)

olduğuna göre,  a + b toplamını bulalım.

 

  Çözüm:

                      _                      

                 3 . Z – 1 = 2(4 – i)

                 3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i

                 3a – 1 – 3bi = 8 – 2i

olduğundan,   3a –1 = 8    ve  -3b = -2 dir.

 

3a – 1 = 8  Þ  3a = 9  Þ  a = 3  ve

-3b = -2  Þ  b = 2/3  tür.

 

O halde,  a + b = 3 + 2/3 = 11/3

Not:

 

                                                                                                     __

1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir  ( ( z)  = z )

.

2) Reel katsayılı ikinci dereceden  ax2 + bx + c = 0  denkleminin köklerinden biri Z = m + ni

                                                                                _

karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan  Z = m – ni  sayısıdır.

 

E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM

 

1) Toplama - Çıkarma

 

   Karmaşık sayılar toplanırken  ( ya da çıkar

Yorum Yaz