Sonlu sayida bölgeden olusan bir harita, birbirine sonsuz sayida nokta boyunca komsu olan iki bölgenin renkleri birbirinden farkli olmak üzere, boyanacaksa bu islem için dört rengin yeterli olacagi bir strateji vardir.

Bu teoremin dogrudan uygulamalarindan birisi harita boyanmasidir; eger her ülkenin tek bölgeden olustugu varsayilirsa bir siyasi haritanin tüm ülkeleri, komsu ülkeler ayni renge boyanmadan dört renge boyanabilir. Ancak bu uygulamadaki varsayim, dünya haritasi için uygun olmayip ABD ve Azerbaycan gibi birden fazla bölgeden olusan ülkeler bulunmaktadir.

Bu konjektür (ispatsiz, fakat dogrulugu tahmin edilen sani) 1852'de Augustus De Morgan'in bir ögrencisi olan Francis Guthrie tarafindan ileri sürüldü; fakat ancak 1976'da Appel ve Haken tarafindan bilgisayarla kanitlandi. Matematik tarihinde bu bir bilgisayarin ispatladigi ilk teoremdir


Dört Renk Teoremi'nin bir örnek

Fransiz matematikçi Pierre de Fermat'nin 17. yüzyilda öne sürdügü fakat kaniti ancak 1994 yilinda Ingiliz matematikçi Andrew Wiles tarafindan verilen teoremdir.

Ifadesinin ortaokul matematik bilgileriyle anlasilacak kadar yalin olmasina karsilik öne sürülmesiyle kanitlanmasi arasinda geçen çok uzun sürede pek çok ünlü matematikçi tarafindan üzerinde ugrasilip da kanitlanamamis olmasiyla matematik tarihinde öne çikmistir.

Kisaca, eger n ikiden büyük bir tamsayiysa, ve x, y, z sayilari pozitif tamsayilar ise   ifadesinin saglanamayacagini ifade eder. Ifadenin n=1 ve n=2 durumlarinda kolayca saglanabilecegini görmek zor degildir. Biraz açmak gerekirse, n=2 durumu ünlü Pisagor Teoremi ile yakindan iliskili olup x=3, y=4, z=5 veya x=5, y=12, z=13 tamsayi üçlüleriyle kolayca saglanir.

Bu saninin (artik teorem demek gerekiyor elbette) kaniti için pek çok matematikçi ugrasmis ancak basarisiz olmuslardir. Ancak yakin tarihlere kadar çok büyük n degerleri için bu saninin dogrulanmasina devam edilmistir. Bu tür kismi ilerlemelere yönelik çabalar, hiç beklenmedik bir zamanda Ingiliz matematikçi Andrew Wiles'in bir kanit buldugunu duyurmasiyla son bulmustur. Ne var ki kisa sürede Andrew Wiles'in kanitinda bir hata bulunmus ve Andrew Wiles uzun ve yorucu bir çabanin sonunda 1994 yilinda uzmanlarca dogrulugu kabul gören bir kanit vermeyi basarmistir. Aslinda Wiles'in kaniti Fermat'nin son teoreminden daha güçlü bir ifadenin, Simura-Taniyama Konjektürü'nün de dogrulugunu göstermistir. Söz konusu kanit Sayilar Teorisi'nin çok geliskin tekniklerini kullanir.

Pisagor teoreminin görsel açıklaması:


Pisagor teoremine göre bir diküçgende dik kenarlarin karelerinin toplamlari hipotenüsün karesine esittir.Bunun ispati suna dayanmaktadir:

c2=a2+b2 c uzunlugu hipotenüstür. a ve b uzunluklari ise dik kenarlardir. Her kenardan birer kare olusturulur. bu karelerin alanlari, kare alan formülüne dayali olarak a2,b2,c2 seklinde siralanir. Böylece üç karenin köselerinin birlesiminden olusan bir dik üçgen olusturulur. Olusan üçgenin dik kösesinden hipotenüsün olusturdugu karenin, hipotenüse paralel olan kenara indirilen dikme ile üçgen içerisinde öklid bagintisi kurulur. (öklid bagintisi benzerlikten ispatlanabilmektedir.)

Öklide göre;

a2 = p(p+q)

yani, dik kenarlardan birinin karesi, dik açidan hipotenüse indirilen dikmenin ayirdigi parçalardan kendisine komsu olan tarafin uzunlugu ile hipotenüsün tamaminin çarpimina esittir. Bu durumda ise

a2 = p.c

olacaktir. Yani a kenarina ait karenin alani, hipotenüse ait alanin dik açidan indirilen dikmeyle ikiye ayirdigi alanlardan kendisine komsu olan alana esit olacaktir. Bu durumu diger kenar için de düsünürüz.

a2 = p.(p + q)b2 = q.(p + q)
p + q = c
a2 = p.c,b2 = q.c olacaktir. Bunu takiben,

a2 + b2 = p.c + q.c
a2 + b2 = c.(p + q)
p + q = c
a2 + b2 = c.c
a2 + b2 = c2

olacaktir. Matematikte, Pisagor Teoremi, Öklid geometrisinde bir dik üçgenin 3 kenari için bir bagintidir. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem sonradan IÖ 6. YY'da Yunan filozof ve matematikçi Pisagor'a atfen isimlendirilmis ise de, Hindu, Yunan, Çinli ve Babilli matematikçiler teoremin unsurlarini, o yasamadan önce bilmekteydiler.Pisagor teoreminin bilinen ilk ispati Öklid'in Elementler eserinde bulunabilir.

Teoremin tersi ;

Pisagor teoreminin tersi de dogrudur. Yani, Öklid geometrisinde,
c2 = a2 + b2

(not:a2: anın karesş anlamındadır.b ve c içinde bu durum geçerlidir.)

seklindeki karmasik katsayili bir polinomunun kökleri, p(x) polinomu içersinde x bilinmeyeni yerine kondugunda 0 sonucu veren degerlerdir. Cebirin Temel Teoremi sabit olmayan (yani derecesi en az bir olan) kompleks katsayili her p(x) polinomu için en az bir kompleks kök oldugunu ifade eder.

P harfi "polynomial", NP harfleri ise "non-deterministic polynomial" ifadelerini temsil eder, türkçe karsiliklari "polinom" ve "belirleyici olmayan polinom"dur. "P esittir NP?" ise Hesaplama Teorisi'nin en temel ve meshur problemidir.

Polinomsal zamanda çözülen problemler

Hesaplama teorisinde, bazi tip problemlerin çözümü için en etkili algoritmalarin çalisma süresinin girilen verinin büyüklügüne bir polinom cinsinden bagli oldugu bilinmektedir (buna polinomsal zamanda çalisan algoritma adi verilir), bu tür problemler P kategorisindeki problemlerdir. Mesela verilen basamakli bir sayinin asal olup olmadigini kontrol etmek için çalisma süresi mertebesinde bir polinomla hesaplanabilen bir algoritma vardir. Dolayisiyla verilen bir sayinin asal olup olmadiginin arastirilmasi P kategorisinde bir problemdir.

Polinomsal zamanda çözülemeyen problemler

Buna karsilik bir diger gurup problem vardir ki bunlar için sorulan soruya girilen verinin büyüklügüne polinom mertebesinde bagimli bir sürede cevap verecek bir algoritma bilinmemektedir. Fakat bu tür bazi problemler için eger bir sekilde cevabi tahmin edebiliyorsak, tahminimizin dogrulugunu sinamak için veri büyüklügüne polinom mertebesinde bagimli sürelerde çalisacak algoritmalar vardir. Bu tür problemler, yani bir tahminin dogrulugunun kontrolü için çalisma süresi verinin büyüklügüne polinom cinsinden bagimli bir algoritma olan problemler de NP kategorisini olustururlar. Örnek olarak verilen basamakli bir sayinin asal çarpanlarinin neler oldugu sorusunu düsünebiliriz. Bu sorunun cevabi için bilinen en iyi algoritmanin çalisma süresi n sayisina bir polinom cinsinden degil de eksponansiyel fonksiyonlar cinsinden (misali) bagimlidir (buna üstel zamanda çalisan algoritma denir), fakat bu problem için eger bir sekilde cevabi tahmin edebiliyorsak tahminimizin dogrulugunu sinamak için n sayisina polinom mertebesinde bagimli bir sürede çalisacak bir algoritma mevcuttur. Dolayisiyla verilen bir n basamakli sayinin asal çarpanlarinin neler oldugu sorusu NP kategorisindedir.

P ve NP arasindaki bag

Bu iki kategoriden NP'nin P'yi içerdigini görmek kolaydir. Eger bir sorunun cevabini verinin büyüklügüne polinom mertebesinde bagimli sürede çalisacak bir algoritmayla bulabiliyorsak, bu soruya cevap olarak üretilmis bir tahminin dogrulugunu da verinin büyüklügüne polinom mertebesinde bagimli sürede çalisacak bir algoritmayla kontrol edebiliriz. Bunun için verilen sorunun cevabini verecek algoritmayi çalistirip, onun verdigi cevabi kendi tahminimizle karsilastirmak yeterlidir. "P=NP?" problemi bunun tersinin de dogru olup olmadigini sorar. Yani NP kategorisinde olup da P kategorisinde olmayan problemler var midir? Veya diger bir dille asal çarpanlarin bulunmasi için polinom mertebesinde bir sürede çalisacak bir algoritma gerçekten yok mu yoksa var da biz mi bulamiyoruz? Bu alanin uzmanlarinin çogunun görüsü bu tür algoritmalarin gerçekten de var olmadiklari için bulunamadigi (yani P nin NP'ye esit olmadigi) seklinde ancak bu soruya kesin bir cevap verilebilmesi simdilik çok zor gözüküyor