2^y = 2^4 eşitliğini sağlayan y değerini bulmak için yapılan işleme üslü denklemi çözme denir. (y = 4)

Buraya kadar anlatılan bilgiler 6^a = 10 eşitliğini sağlayan a değerini bulmak için yeterli değildir. Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir.
I. ÜSTEL FONKSİYONLAR VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
2y = 24 eşitliğini sağlayan y değerini bulmak için yapılan işleme üslü denklemi çözme denir. (y = 4)
Buraya kadar anlatılan bilgiler 6a = 10 eşitliğini sağlayan a değerini bulmak için yeterli değildir. Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir.


A. ÜSTEL FONKSİYONLAR
olmak üzere,

biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir.
a > 0 olduğundan f(x) = ax > 0 olur.

B. LOGARİTMA FONKSİYONU
olmak üzere,

biçiminde tanımlanan üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.

şeklinde gösterilir. Buna göre,
dir.
y = logax ifadesinde sayısına sayısının a tabanına göre logaritması denir ve ‘‘y eşittir a tabanına göre logaritma x ’’ şeklinde okunur.

D. ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU
f(x) = logax fonksiyonunda taban a = 10 alınırsa f(x) fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir ve kısaca logx biçiminde gösterilir.

1 den büyük sayıların on tabanına göre logaritması pozitiftir.
1 den küçük pozitif sayıların on tabanına göre logaritması negatiftir.

Kural

x > 1 olmak üzere, x in onluk logaritmasının tam kısmı, x in basamak sayısının bir eksiğine eşittir.
0 < y < 1 olmak üzere, y nin ondalık kesir biçiminde yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısı K ise, logy nin eşitinin tam kısmı –(K – 1) dir.

E. DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU
f(x) = logax fonksiyonunda taban
ℓ = 2,718281828459045235360287471352... alınırsa (ℓ sayısı irrasyonel bir sayı olup yaklaşık değeri 2,718 kabul edilir.) doğal logaritma fonksiyonu elde edilir. Doğal logaritma fonksiyonu kısaca lnx biçiminde gösterilir. Bu durumda,

İşlemlerde genellikle logex yerine lnx ifadesi kullanılır.

II. LOGARİTMALI DENKLEMLER

Özellik

a sayısı 1 sayısından farklı bir pozitif sayı olmak üzere, tabanı a olan logaritmalı denklem,
logaf(x) = b ise f(x) = ab dir.
logaf(x) = logag(x) ise f(x) = g(x) dir.
Logaritmalı denklemleri bu özellikleri kullanarak çözeriz.
Logaritmanın tanımından, f(x) > 0 ve g(x) > 0 olmalıdır.

III. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

Kural

logaf(x) in işareti a ya bağlı olduğundan eşitsizlik çözümlerinde aşağıdaki bilgileri kullanırız.






C. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ
Kural
1 den farklı her a pozitif reel sayısının a tabanına göre logaritması 1 dir. Buna göre,



Kural
Her tabana göre, 1 in logaritması 0 dır. Buna göre,



Kural



Kural



Kural

Kural

SAYMANIN TEMEL KURALLARI
Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.
s(A)= m , s(B)= n ve A ile B’nin kesişimi boş küme ise birleşimin eleman sayısı
s(A) + s(B)= m+ n’ dir.
O halde ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.
Örnek: 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan kaç yolla seçilebilir?( ya bir bay veya bir bayan seçilecek )
Çözüm : 5 bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 yolla seçilebilir. Buna göre 5 bay ile 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan 5 + 3 = 8 yolla seçilebilir.
Çarpma Kuralı : n bir sayma sayısı olmak üzere a1, a2, a3, ....., an ile gösterilen n tane nesne için ( a1 , a2 )’ ye sıralı ikili, ( a1 , a2 , a3 )’e sıralı üçlü ... ( a1 , a2 , a3 , ... , an )’e sıralı n’li denir. Sıralı ikililerin kümesini A2 , Sıralı üçlülerin kümesini A3 , Sıralı dörtlülerin kümesini A4 .... şeklinde gösterelim.
A1 , A2 , A3 , ... , Ar kümelerinin elemanlarının sayısı n1 , n2 , n3 , ... , nr olsun. Bu durumda s ( A1.A2.A3... Ar )= s(A1 ). s(A2 ). s(A3 )... s(Ar ) = n1.n2.n3 ... nr olur.
Yukarıdaki genel kuralı iki işlem için açıklıyalım : iki işlemden biri m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m.n yolla yapılabilir.
Örnek: 5 bay ve 3 bayan arasından1 bay ve 1 bayan kaç yolla seçilebilir?( hem bir bay hem de bir bayan seçilecek )
Çözüm : 5 Bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 değişik şekilde yani 3 yolla seçilebilir. Yukarıda açıkladığımız kurala göre 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay ve 1 bayan 5.3 =15 yolla seçilebilir.
FAKTÖRİYEL
Tanım: 1’den n’e kadar olan tamsayıların çarpımına “n faktöriyle” denir ve n! Şeklinde gösterilir.
1.2.3.....n = n!
0!=1
1!=1
2!=1.2 = 2
3!=1.2.3.= 6
4!=1.2.3.4 = 24
Uyarı : n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!
Yani 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.3.2!
9! = 9.8! = 9.8.7! = 9.8.7.6! = 9.8.7.5.5! gibi.
Örnek: 15! / 13! =?
Çözüm : 15 ve 13 arasında 15 sayısı 13 den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz. 15! = 15.14. 13! olur.
15! / 13! = 15.14. 13! / 13! = 15.14 bulunur.
Örnek: n! / (n - 2 )! =?
Çözüm : n ve n - 2 arasında n sayısı n-2 den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz. n! = n.(n - 1 ). (n - 2 )! olur.
n! / (n - 2 )! = n.(n - 1 ). (n - 2 )! / (n - 2 )! = n.(n - 1 ) bulunur.
Kural : n tane eşyayı n tane yere n! kadar farklı şekilde dizeriz.
Örnek: 6 tane ampul 6 tane yere kaç farklı şekilde takılabilir?
Çözüm : Açıklayıcı olması için ampüllere A , B , C ve D , yerlere 1 , 2 , 3 ve 4 diyelim. A ' dan başlayarak ampülleri takalım. A ampülü 4 yerden birine takılabilir. Yani A ampülünün takılması için 4 yol var. A ampülünü taktıktan sonra 3 ampül ve üç yer kalır. B ampülü 3 yerden birine takılabilir. Yani B ampülünün takılması için 3 yol var. A ve B ampülünü taktıktan sonra 2 ampül ve 2 yer kalır. C ampülü 2 yerden birine takılabilir. Yani C ampülünün takılması için 2 yol var. A , B ve C ampülünü taktıktan sonra 1 ampül ve 1 yer kalır. D ampülü 1 yere takılabilir. Yani D ampülünün takılması için 1 yol var. Çarpım kuralına göre bu 4 ampül yolların çarpımı kadar farklı şekilde takılabilir.
Yani 4.3.2.1 = 4! = 24 değişik takma şekli vardır.
Aşağıdaki sadeleştirmeleri yapınız.
1. (n-2)! (n+1)! / n!. (n - 1)!
2. n! . (n-1)! / (n - 2 )! .(n+ 1)!
3. (n+ 2)! (n+1)! (n-2)! / n! (n-3)! (n+2)!
Örnek: Farklı, 5 matematik ve 3 fizik kitabı bir rafa yan yana dizilecektir.

Kaç farklı şekilde dizilebilir?
Aynı dersin kitapları yan yana gelmek şartıyla bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
Fizik kitapları yan yana gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
Belli iki kitap yan yana gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
Kenarlara fizik kitabı gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir? Çözüm :
a. Rafa kitapları soldan sağa doğru dizdiğimizi düşünelim 1. sıraya dizilecek kitap 8 farklı kitap koyabiliriz yani 8 yolla, 1.sıraya 1 kitap dizildikten sonra 2.sıraya dizilecek kitap diğer 7 kitap arasından biri olacağı için 7 yolla, 1.sıraya 1 kitap ve 2.sıraya 1 kitap dizildikten sonra 3. sıraya dizilecek kitap diğer 6 kitap arasından biri olacağı için 6 yolla,... bu şekilde her seferinde 1 kitap azalır. 8.sıraya dizilecek kitap 1 tane kaldığından 1 yolla belirlenir.Buna göre, bu 8 kitabın bir rafa yanyana dizilişi 8.7.6. 5. 4. 3. 2. .1= 8! yolla belirlenebilir.

Matematik kitapları 1 kitap, Fizik kitapları da 1 kitap gibi düşünülürse, bunların yanyana dizilişi 2! yolla olur. (matematik kitapları sağda fizik kitapları solda veya matematik kitapları solda fizik kitapları sağda ). 5 Matematik kitabının kendi arasındaki dizilişi 5! yolla olur. 3 fizik kitabının kendi arasındaki dizilişi 3! yolla olur.Buna göre matematik kitapları ve fizik kitapları, aynı dersin kitapları yanyana gelmek şartıyla 2!.3!.5! yolla dizilebilir.
Fizik kitapları yanyana gelince 1 kitap gibi olur. Fizik kitaplarını 1 kitap gibi düşünelim. Bu durumda 6 kitap varmış gibi düşünülebilir. Bu 6 kitabın 6! farklı dizilişi vardır. Fizik kitapları kendi arasındaki dizilişi 3! yolla , 5 matematik ve 3 fizik kitabı, fizik kitapları yanyana gelmek şartıyla 6!.3! yolla dizilebilir.
8 kitabın belli ikisi A ve B olsun. A ve B’yi bir kitap gibi düşünelim. Bu durumda 7 kitap olduğu düşünülebilir. Bunların yanyana dizilişi 7! yolla yapılabilir. A ve B kitaplarının kendi aralarındaki dizilişi 2! olduğu için, 8 kitap; belli ikisi yan yana gelmek şartıyla 7!.2! yolla dizilebilir. e. 1. Sıraya ve 8. Sıraya fizik kitabı 2.,3., ....., 7. sıralara diğer 6 kitap dizilirse uygun diziliş gerçekleşir. Buna göre, 1. sıraya gelecek fizik kitabı 3 fizik kitabı arasında 3 yolla, (1.sıraya gelecek fizik kitabı belirlendikten sonra) 8. sıraya gelecek fizik kitabı diğer iki fizik kitabı arasından 2 yolla belirlenebilir. Diğer 6 kitabın dizilişi 6! Yolla belirlenebilir. O halde 8 kitap kenarlara fizik kitabı gelmek şartıyla, 3.2.6! =3!.6! yolla dizilebilir.
PERMÜTASYON :
Tanım : r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak üzere , n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı sıralı r’ lilerine A kümesinin r’ li permütasyonları denir.
n elemanlı A kümesinin r’ li permütasyonlarının sayısı P (n,r) = n! / (n-r)! formülü ile bulunur.
Örnek: Farklı renkte 7 mendilin 3’ ü, bir öğrenciye 1 mendil verilmek şartıyla 3 öğrenciye kaç farklı şekilde verilebilir?
Çözüm : A kümesi mendiller kümesi olur. Eleman sayısı 7 ' dir. n = 7 , üç mendil dağıtılacak. r = 3 olur. Bu mendiller ;
P( 7, 3) = 7! / ( 7 - 3 )! = 7.6.5.4! / 4! = 7.6.5 = 210 farklı şekilde dağıtılabilir.
Uyarı :
i. i. i. n elemanlı bir kümenin n’li permütasyonlarının sayısı,
Yani P(n,n) = n.(n-1)......1 = n!’ dir.
ii. n elemanlı bir kümenin 1’ li permütasyonlarının sayısı, P (n,1) = n’dir.
iii. Permütasyonla çözülebilen problemlerin çarpmanın kuralıyla da çözülebileceğine ; ancak, çarpma kuralıyla çözülebilen her problemin permütasyonla çözülemiyeceğine dikkat ediniz.
Örnek: 5 Bay ve 3 bayan yan yana sıralanacaktır.

Bu 8 kişi yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir? Çözüm :

8 Kişi yan yana 8! farklı şekilde sıralanır.
Bayanlar 1 kişi gibi düşünülürse 6 kişinin sıralanışı söz konusu olur. 6 kişi yan yana 6! farklı şekilde sıralanır, ayrıca bayanlar kendi aralarında 3! farklı şekilde sıralanır. Buna göre bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla 6!. 3! farklı şekilde sıralanabilir.
Mümkün olan bütün sıralanışların sayısı 8! ve bayanların 3’ünün yan yana geldiği sıralanışların sayısı 6!. 3! Olduğu için bayanların 3’ünün yan yana gelmediği sıralanışların sayısı, 8! - 6!. 3! = 8.7.6! - 6!. 3.2.1 = 6! (56-6) = 50.6! olur. Dönel (dairesel) sıralama :
Tanım : n tane farklı elemanındaire şeklinde bir yere sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir. Dairesel sıralamada en baştaki ile en sondaki eleman yanyana gelir. Bu nedenle n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı düz bir hatta sıralanmaya göre 1 eksik eleman alınarak bulunur. Yani Elemanlardan biri sabit tutulursa n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n-1)! olur.
Örnek: 7 kişilik bir heyet bir masa etrafında oturacaktır.

Bu heyet yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?
Bu heyet düz bir masa boyunca kaç farklı şekilde oturabilir?
Heyet başkanı ve yardımcısı yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler? Çözüm :

7 kişi yuvarlak masa etrafında (7-1)! = 6! farklı şekilde oturabilir.
Bu heyet düz bir masa etrafında 7! farklı şekilde oturabilir.
Başkan ve yardımcısını bir kişi gibi düşünelim. Bu durumda 6 kişinin yuvarlak masa etrafında oturması sözkonusu olur. 6 kişi yuvarlak masa etrafında (6-1)! = 5! farklı şekilde oturabilir. Ayrıca başkan ve yardımcı aralarında 2! değişik şekilde oturabilir. Buna göre heyet, başkan ve yardımcı yan yana gelmek şartıyla, 5!. 2! farklı şekilde oturabilir. Tekrarlı permütasyonlar :
Tanım : n tane nesnenin n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, ......., nr tanesi de r. çeşitten olsun.
n= n1+ n2+ ........... + nr olmak üzere bu n tane nesnenin n’li permütasyonlarının sayısı,
(n1 ,n2 , ..., nr ) = n! / n1!.n2!...nr ‘ dir.
Örnek: “ BABACAN” sözcüğünün harfleriyle 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?
Çözüm : 2 tane B harfi olduğu için n1 = 2
3 tane A harfi olduğu için n2 = 3,
1 tane C harfi olduğu için n3 = 1 ve bir tane N harfi olduğu için
n4 = 1 olsun. Buna göre farklı sözcüklerin sayısı,
(2,3,1,1) = 7! / 2!.3!.1!.1! = 7.6.5.4.3.2.1 / 2.1.3.2.1.1 = 420 ‘ dir.
KOMBİNASYON
Tanım : r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak şartıyla n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r ’ li kombinasyonu denir.
n elemanlı kümenin r’li kombinasyonlarının sayısı, K(n,r), C(n,r), C nr ya da
( nr ) ile gösterilir. Burada C (n,r) veya ( nr ) gösterimleri kullanılacaktır.
n elemanlı kümenin r ' li kombinasyonlarının sayısı,
C(n,r) = ( nr ) = n! / r! . (n-r)! formülü ile bulunur.
UYARI : Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme sözkonusudur.

( nx ) = ( ny ) ise x = y veya x + y = n olur.
( n0 ) = 1
( n1 ) = n
( nn ) = 1 Örnek: Ali ve Veli’nin de aralarında bulunduğu 6 kişi arasından, aralarında Ali’nin bulunduğu ve Veli’nin bulunmadığı 4 kişilik grup kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm : Ali ve Veli arasından Ali seçilir, Veli seçilmez ve diğer 4 kişi arasından 3 kişi seçilirse istenen şart sağlanır. Buna göre, Veli seçme dışıdır. Ali’ yi mutlaka seçeceğiz ve Veliyi dışarda bırakacağımız için seçmeye katılacak 6 - 2 = 4 kişi kalır. Bu 4 kişi arasından 3 kişinin seçimi C (4,3) ile bulunur.
C (4,3) = 4! / (4-3)!. 3! = 4.3.2.1 / 1.3.2.1 = 4’ tür.

BİNOM AÇILIMI
x ve y reel sayı ve n pozitif bir doğal sayı olmak şartıyla
(x+y) n = C (n,0) xn + C (n,1) xn-1y+C (n,2) xn-2y2+........ .......+C (n,r)xn-ryr+.....+C (n,n)yn
ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açılımı, bir diğer ifadeyle binom açılımı denir.
Binom açılımındaki katsayıları paskal üçgeni ile de bulabiliriz.
1 ...............................(x+y)0
1 1 ...........................(x+y)1
1 2 1 ......................(x+y)2
1 3 3 1 ...................(x+y)3
1 4 6 4 1 ...............(x+y)4
Sonuçlar :

Açılımda n+1 tane terim vardır.
Açılımı oluşturan terimlerin çarpanlarının kuvvetleri toplamı n’dir. mesela, açılımın bir terimi olan C (n,r) xn-r yr’ de terimi oluşturan xn-r çarpanı ile yr çarpanının kuvvetlerinin toplamı, n-r + r = n’ dir.
Açılımda terimlerin katsayılarının toplamı değişkenlerin yerine 1 yazılarak bulunur. Gerçekten, x = 1 ve y = 1 alınırsa , C (n,0) + C (n,1) + C (n,2) + ...... + C (n,n) = 2n olur. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısının 2 n olduğunu hatırlayınız. Benzer bir yaklaşımla tanımlı olduğu durumlar için değişkenlerin yerine 0 yazılarak açılımın sabit terimi bulunur. x = 0 ve y = 0 yazılırsa sabit terim 0 olur.
4. Açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde baştan (r+1) . terim ,
C(n,r) xn-r yr ‘dir.

(x+y) 2n açılımında n pozitif bir tam sayı ve açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş ise ortanca terim, C(2n,n) xnyn ‘dir.

Türevi belli olan bir fonksiyonu bulmak için yaptığımız işleme integral alma veya ilkel fonksiyonu denir.

BELİRSİZ İNTEGRAL
TANIM: f :[a, b] R, F : [a, b] R tanımlı ve türevlenebilir iki fonksiyon olsun.
Her x Є (a, b) için, F’(x) = f(x) ise F(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonunun ilkeli veya belirsiz integrali denir. Bunu, C Є R olmak üzere,

F’(x) = f(x) ſf(x) dx = F(x)+C

Biçiminde gösterilir. ſf(x) dx ifadesini, “integral f(x) dx” diye okuruz.

Kısaca, ſ f(x) dx demek, türevi f(x) olan F(x) fonksiyonunu bulmak demektir.
ſf(x) dx = F(x)+C ifadesindeki;

- f(x) fonksiyonuna integrand,
- F(x) fonksiyonunun bulunması işlemine integrasyon işlemi,
- C reel sayısına da integrasyon sabiti denir. Bir fonksiyonda, sabit terimin türevi sıfır olduğundan, integral alınırken bu sabit terimi bilemeyiz.
- ſf(x) dx ifadesindeki dx ise, integrasyonyn değişkeninin x olduğunu belirtir.

TEOREM: Bir fonksiyonun diferansiyelinin integrali, bu fonksiyona sabit eklenerek bulunur.

ſ d( f(x) ) = f(x)+C dir.


TEOREM: Bir fonksiyonun bir sabitle çarpımının integrali, o fonksiyonun integralinin sabitle çarpımına eşittir.
Yani, integral içindeki sabit çarpan, integral dışına alınabilir.

Her a Є R için, ſ a . f(x) dx = a . ſ f(x) dx dir.

TEOREM: İki fonksiyonun veya farkının integrali, bu fonksiyonların integrallerinin topl----- veya farkına eşittir.

ſ[f(x) + g(x)] dx = ſ f(x) dx + ſ g(x) dx ,
ſ[f(x) - g(x)] dx = ſ f(x) dx - ſg(x) dx tir.

TEMEL İNTEGRAL ALMA FORMÜLLERİ

1) ſ a dx = ax + C , (a Є R )
2) ſ xⁿ dx = (xⁿ ¹/n+1) + C , (n = -1)
3) ſ ( 1/x) dx = ln |x| +C
4) ſ eª da = eª + C
5) ſ eª da = (eª / ln e) + C , (a Є R’ –{1})
6) ſ sinx dx = -cosx + C
7) ſ cosx dx = -sinx + C
8) ſ (1 / cos²x) dx = ſ(1+tan²x) dx =ſsec²x dx = tanx + C
9) ſ (1 / sin²x) dx = ſ (1+cot²x) dx = ſcosec²x dx = -cotx + C
10) ſ (1 / 1 - x² ) dx = arc sinx + C = -arc cosx + C
11) ſ( 1 / 1+x² ) dx = arc tanx + C = -arc cotx + C

Yukarıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösterebilmek için, sağ taraftaki fonksiyonların türevlerini alarak, integrali alınan fonksiyonu elde ederiz.

İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ
İntegrali alınacak fonksiyonun, hangi fonksiyonun türevi olduğunu görmek, her zaman pek mümkün olmaz. Bunun için, bazı integral alma yöntemleri oluşturulmuştur.

1. DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ
f, g, fog ve g’ fonksiyonları, bir [a, b] aralığında sürekli fonksiyonlar olsun

ſf(g(x)).g’(x) dx

biçimindeki integralleri hesaplamak için, u = g(x) dönüşümü yapılır ve her iki tarafın diferansiyeli alınırsa, du = g’(x) dx elde edilir. Bu durumda integral,

ſf(g)).g’(x) = ſ f(u) du

biçimine dönüşür. ſ f(u) du ifadesinin, u değişkenine göre integrali alındıktan sonra, u yerine g(x) yazılarak, sonuç x değişkenine göre bulunmuş olur.

* ſ [f(x)]ⁿ . f’8x) dx ifadesinde olduğu gibi, kuvveti alınan fonksiyonun türevini aldığımızda, yanındaki çarpanı elde edebiliyorsak, bu ifadenin integralini kısaca;

ſ[f(x)]ⁿ . f’(x) dx = {[f(x)]ⁿ´¹ / n+1} + C (n = -1)
biçiminde alabiliriz.


LOGARİTMİK VE ÜSTEL İNTEGRAL ALMA KURALLARI:

1. ſ {f´(x) / f (x) = ln |f (x)| + C
2. ſ eª . f´(x) dx = eª + C ( a = f(x))
3. ſ eª . f´(x) dx = {eª / ln e} + C (a = f(x))

Bu eşitliklerin, sağ tarafındaki ifadelerin türevlari alındığında, integrali alınacak ifade elde edilir.

BAZI TRİGONOMETRİK İFADELERİN İNTEGRALLERİ

1. ſ sin(f(x)) . f´(x) dx = -cos f(x) + C
2. ſ cos (f(x)) . f’(x) dx = sin f(x) + C
3. ſ{f’(x) / cos²f(x)} dx = tan f(x) + C
4. ſ{f’(x) / sin²f(x)} dx = -cot f(x) + C
5. ſsin(ax + b) dx = (-1 / a) cos(ax + b) + C (a = 0)
6. ſcos(ax + b) dx = (1 / a) sin(ax + b) + C (a = 0)
7. ſ{dx / cos²(ax + b) dx = (1 / a) tan (ax + b) + C (a = 0)
8. ſ{dx / sin²(ax + b) dx = (-1 / a) cot (ax + b) + C (a = 0)
9. ſcot (ax + b) dx = ſ{cos (ax + b) / sin (ax + b) dx = (1 / a) ln |sin(ax + b)| + C

Yukarıdaki eşitliklerde, sağ taraftaki fonksiyonların türevlvri alındığında, integrali alınan fonksiyon elde edilir.

2 KISMİ (PARÇALI) İNTEGRASYON YÖNTEMİ

İki fonksiyonun çarpımının integralinin hesaplanmasında genelde, kısmi integrasyon yöntemi kullanılır.
u ve v fonksiyonları, bir (a,b) aralığında türevlene bilen fonksiyonlar ise, u, v fonksiyonu da (a, b) aralığında türevlidir.

{(d / dx)(u . v)} = {(du v / dx) + (dv u / dx) olduğundan,

d(u . v) = v du + u dv ve
u dv = d(u . v) – v du olur.
Bu eşitliğin her iki yanının integralini alırsak;
ſ u dv = u . v - ſ v du olur.
Bu yöntemle integral almaya, kısmi integrasyon yöntemi denir.


3 BASİT KESİRLERE AYIRMA YÖNTEMİYLE İNTEGRAL ALMA

P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, {P(x) / Q(x)}, (Q(x) = 0) biçimindeki fonksiyonlar, rasyonel fonksiyonlardır. Basit kesirlerine ayrılabilen rasyonel fonksiyonların integralleri şu şekilde bulunur:

a, b, c, A, B Є R ve n Є N olsun. (A / (ax + b)ⁿ) ve Δ< 0 olmak üzere,
{Ax + B / (ax² + bx + c)ⁿ biçimindeki ifadelere basit kesir denir. {P(x) / Q(x)}rasyonel ifadesi, basit kesirlerin tplamı biçiminde yazılabiliyorsa, yapılan işleme; basit kesirlere ayırma denir.
Rasyonel ifadelerin integralinin hesaplanmasında 2 yöntem vardır.

A. P(x) in Derecesi, Q(x) in Derecesinden Küçük ise
Bu durumda, aşağıdaki yollar izlenir:
a) {P(x) / Q(x)) rasyonel ifadesinin paydası olan Q(x),
Q(x) = (a x + b )(a x + b)…(a x + b) biçiminde r tane çarpandan oluşuyorsa, bu ifade:
{P(x) / Q(x)} = {A / a x + b} + {A / a x + b}+….+{A / a x +b} şeklinde basit kesirlerin toplamı olarak yazılır. Polinomların eşitliğinden yararlanılarak; A , A , ….., A değerleri bulunur ve sonrada integral alınır.

B. P(x) in Derecesi, Q(x) in Derecesinden büyük veya eşit ise
Bu durumda, P(x) polinomu Q(x) polinomuna bölünür. P(x) in Q(x) e bölünmesinden bulunan bölüm B(x) ve kalan K(x) ise,
{P(x) / Q(x)} = B(x) + {K(x) / Q(x)} biçiminde yazılır ve bu ifadenin integrali alınınr.

TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER YARDIMIYLA İNTEGRAL ALMA
Bazı trigonometrik ifadelerin integralleri alınırken, ayşağıda verilen trigonometrik özdeşliklerden yararlanılır.

1. sin²x +cos²x = 1 sin²x = 1 -cos²x veya cos²x = 1 -sin²x tir.

2. sin2x = 2sinx . cosx sinx . cosx = (sin2x / 2) dir.

3. cos2x = cos²x – sin²x veya cos2x = 2cos²x – 1 cos²x = {1+cos2x / 2} veya

cos2x = 1 – 2sin²x sin²x = {1 – cos2x / 2 } dir.



n Tek Doğal Sayı ise ſ sinⁿx dx veya ſ cosⁿx dx Biçiminde Verilen İntegralleri Hesaplama
ſ sinⁿ dx = ſ sinⁿ־¹x .sinx dx veya ſ cosⁿ dx = ſ cosⁿ־¹x .cosx dx biçiminde yazılır. Daha sonra, sin²x = 1 - cos²x veya cos²x = sin²x özdeşlikleri yazılarak integral alınır.




n Çift Doğal Sayı ise ſsinⁿ dx veya ſ cosⁿx dx Biçiminde Verilen İntegrallerin Hesaplanması

ſsinⁿx dx = ſ(sin²x)ⁿ´² dx veya ſcosⁿx dx = ſ(cos²x)ⁿ´² dx yazılır.
Daha sonra, sin²x = (1 – cos2x / 2) veya cos²x = (1 + cos2x / 2) özdeşlikleri yazılarak integrali alınır.

Doğal sayılar-Tam sayılar ders notları:

http://www.matematikcafe.net/dogal-sayilar-tam-sayilar-f-114.html

Rasyonel Sayılar ders notları:

http://www.matematikcafe.net/rasyonel-sayilar-f-115.html

Üslü Sayılar ders notları-testler-çözümlü sorular:

http://www.matematikcafe.net/uslu-ve-koklu-sayilar-f-116.html

Köklü Sayılar ders notları-testler-çözümlü sorular:

http://www.matematikcafe.net/uslu-ve-koklu-sayilar-f-116.html

Çarpanlara ders notları-testler-çözümlü sorular:

http://www.matematikcafe.net/carpanlara-ayirma-f-118.html

Eşitsizlik Mutlak Değer ders notları-testler-çözümlü sorular:

http://www.matematikcafe.net/esitsizlik-ve-mutlak-deger-f-119.html

Oran Orantı ders notları-testler-çözümlü sorular:

http://www.matematikcafe.net/oran-oranti-f-120.html

Problemler ders notları-testler-çözümlü sorular:

http://www.matematikcafe.net/problemler-f-121.html

Denklem Çözme ders notları-testler-çözümlü sorular:

http://www.matematikcafe.net/denklemler-problemler-f-121.html

Kartezyen Çarpım-Bağıntı ders notları-testler-çözümlü sorular:

http://www.matematikcafe.net/baginti-fonksiyon-f-123.html

Fonksiyonlar ders notları-testler-çözümlü sorular:

http://www.matematikcafe.net/baginti-fonksiyon-f-123.html

İşlem-Modüler Aritmetik ders notları -testler-çözümlü sorular:

http://www.matematikcafe.net/islem-moduler-aritmetik-f-125.html

Kümeler ders notları-testler-çözümlü sorular:

http://www.matematikcafe.net/kumeler-f-126.html

KPSS Matematik Ders Notları
http://www.kpsscafe.com/kpss/forum-55.html


KPSS Matematik Videoları
http://www.kpsscafe.com/kpss-matematik-videolari.php

ÖSS Matematik-1 Ders Notları için :

http://www.matematikcafe.net/oss-matematik-1-ders-notlari-f-431.html

ÖSS Matematik-2 Ders Notları için :

http://www.matematikcafe.net/oss-matematik-2-ders-notlari-f-87.html

Geometri 1-2 Ders Notları için:

http://www.matematikcafe.net/oss-geometri-1-2-ders-notlari-f-88.html

Akademik Matematik Ders Notları için:

http://www.matematikcafe.net/akademik-matematik-bolumu-f-326.html

Lise Matematik Ders Notları için:

http://www.matematikcafe.net/liseler-icin-matematik-ders-notlari-f-98.html

İlköğretim Matematik Ders Notları için:

http://www.matematikcafe.net/ilkogretimliler-icin-matematik-ders-notlari-f-96.html

Çıkmış ÖSS Matematik Soruları ve Çözümleri

http://www.matematikcafe.net/cikmis-oss-matematik-sorulari-ve-cozumleri-f-418.html

Matematik hakkında merak ettiğiniz herşey için:

http://www.matematikcafe.net/ozel-matematik-f-289.html

Ayrıca tüm ders notları soru bankaları denem sınavları için Matematik